Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen spielen in der Physik und gerade in der Quantentheorie eine ganz zentrale Rolle. Man kann sie sich als Pfeile vorstellen, die man addiert, indem man die Pfeile aneinanderlegt.

Mathematisches: Sie Notwendigkeit komplexer Zahlen

Auf komplexe Zahlen waren Mathematiker im 18. Jahrhundert gestoßen, als sie immer neue mathematische Aufgaben lösen wollten und die Menge der bis dahin bekannten Zahlen erweitert werden musste, bis sie schließlich auch die komplexen Zahlen beinhaltete:

Zu Anfang kannten Mathematiker ganze Zahlen wie -2, 0, 1, oder 2. Mit ihnen ließen sich Aufgaben wie „Welche ganze Zahl x ergibt mit 2 multipliziert 8?“ lösen. Die Antwort lautet x = 4.
Bei der Frage „Welche Zahl x ergibt mit 2 multipliziert 9?“ müssen die ganzen Zahlen jedoch passen. Es gibt keine ganze Zahl, die Antwort auf diese Frage ist. Die Menge der Zahlen musste um die der Brüche erweitert werden. Damit lautet die Antwort auf obige Frage x = 9/2 = 4,5. Ganze Zahlen und Brüche bilden zusammen die Menge der rationalen Zahlen.
Doch auch die rationalen Zahlen reichen nicht aus. So konnten Mathematiker zeigen, dass es keine rationale Antwort auf die Frage „Welche Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert 2?“ gibt. Für diese Aufgabe wurde die irrationale „Wurzel 2“ erfunden. Rationale und irrationale Zahlen ergeben die reellen Zahlen.
Mit den reellen Zahlen kann man die Gleichung „x² = 2“ lösen; „x² = -1“ bleibt aber immer noch ohne Antwort, so lange man die Menge der Zahlen nicht noch ein weiteres Mal erweitert und zwar um die imaginäre Zahl {{#xhtm|class=math;i = Wurzel von -1}}. Dies tat der Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783). Die Menge aller Zahlen, die aus reellen Zahlen und reellen Vielfachen von i zusammengesetzt sind, nennt man komplexe Zahlen.