Gruppentheorie

Teilbereich der Mathematik, in dem die Eigenschaften von Symmetrien untersucht werden. Für eine theoretische Beschreibung des Standard-Modells der Teilchenphysik sind diese Symmetrien von großer Bedeutung.

Um Symmetrien kümmern sich nicht nur Physiker. Auch eine ganze Abteilung der Mathematik hat sich ihnen verschrieben: die Gruppentheoretiker. Was nach soziologischer Untersuchung kleinerer Menschenansammlungen klingt, ist reine Mathematik. Zu so genannten „Gruppen“ werden symmetrische Aktionen zusammengefasst, wenn bestimmte Bedingungen erfüllt sind.

Nehmen wir beispielsweise einen Kreis. Er kann um einen beliebigen Winkel gedreht werden, ohne dass sich sein Aussehen ändert. Wir wollen bei einer solchen Drehung von einer „Symmetrieoperation“ sprechen. Davon gibt es bei einem Kreis unendlich viele, weil wir ihn um einen beliebigen Winkel drehen können. Damit nun die Symmetrieoperationen eine Gruppe bilden, muss Folgendes gelten:

Wenn wir zwei Operationen nacheinander ausführen, erhalten wir eine weitere. (Anstatt zuerst um 90 Grad und dann um -20 Grad zu drehen, könnten wir gleich um 70 Grad drehen.)
Auch das Nichtstun ist eine Symmetrieoperation. (Also das Drehen um null Grad.)
Zu jeder Drehung gibt es eine Drehung, die sie wieder rückgängig macht. (Wenn man um 35 Grad nach links dreht, kann man danach auch um 35 Grad nach rechts drehen.)
Es gilt die so genannte Assoziativität. (Wenn wir drei Drehungen um 15, 25 und 35 haben, so können wir zunächst um 40 (= 15 + 25) und dann um 35 Grad drehen, oder zunächst um 15 und dann um 60 (= 25 + 35) Grad drehen.)

Mathematiker haben sich mittlerweile alle denkbaren Symmetriegruppen angeschaut und einen mächtigen Werkzeugkasten, eben die Gruppentheorie, entwickelt, mit dem sie die Eigenschaften von Gruppen untersuchen können. Ohne diesen Kasten trauen sich die wenigsten theoretischen Physiker heute noch aus dem Haus.